Vorlesungen über Algebra. Herausgegeben vom Mathematischen Verein München. Mit dem Bildnis Gustav Bauers als Titelbild und 11 Figuren im Text. Vorlesungen über Algebra. By Dr. Gustav Bauer. Pp. iv. and 375, 1903. (Teubner.)Vorlesungen uber algebra
Bauer, Gustav
Published by Druck und verlag von B. G. Teubner, 1903 Основи математики — це дослідження філософських і логічних[1] і/або алгоритмічних основ математики або, в ширшому сенсі, математичне дослідження того, що лежить в основі філософських теорій щодо природи математики.[2] У цьому останньому сенсі різниця між основами математики та філософією математики виявляється розпливчастою. Основи математики можна розуміти як вивчення основних математичних понять (множина, функція, геометрична фігура, число тощо) і того, як вони утворюють ієрархії більш складних структур і понять, особливо фундаментально важливих структур, які утворюють мову математики (формули, теорії та їхні моделі, що надають значення формулам, визначенням, доведенням, алгоритмам тощо), які також називаються метаматематичними концепціями, з огляду на філософські аспекти та єдність математики. Пошук основ математики є центральним питанням філософії математики; абстрактна природа математичних об'єктів створює особливі філософські проблеми.
Основи математики в цілому не мають на меті вмістити основи кожної математичної тематики. Загалом, основи певної галузі знань стосуються більш-менш систематичного аналізу її найосновніших або фундаментальних концепцій, її концептуальної єдності та її природного порядку або ієрархії концепцій, що може допомогти пов'язати її з рештою людських знань. Розвиток, емерджентність та уточнення основ можуть з'являтися пізніше в історії галузі та можуть не сприйматися всіма як найцікавіша її частина.
Математика відіграє особливу роль у науковій думці, слугуючи з давніх часів моделлю істини та строгості для раціонального дослідження, а також даючи інструменти чи навіть основу для інших наук (особливо фізики). Численні розробки математики в напрямку вищих абстракцій у 19 столітті принесли нові виклики та парадокси, спонукаючи до глибшого та більш систематичного дослідження природи та критеріїв математичної істини, а також до об’єднання різноманітних галузей математики в єдине ціле.
Систематичні дослідження основ математики розпочалися наприкінці 19 століття і сформували нову математичну дисципліну під назвою математична логіка, яка пізніше мала тісні зв'язки з теоретичною інформатикою. Дослідження пройшли через низку криз із парадоксальними результатами, поки відкриття не стабілізувалися протягом 20-го століття як великий і узгоджений масив математичних знань з кількома аспектами або компонентами (теорія множин, теорія моделей, теорія доведення тощо), чиї детальні властивості і можливі варіанти все ще є активним полем досліджень. Високий рівень технічної складності цих досліджень надихнув багатьох філософів на припущення, що він може слугувати моделлю чи зразком для досліджень основ інших наук.
Ключовим питанням усієї проблеми обґрунтування математики є питання надійності математичного доведення. Якщо припустити, що всі доведення певною мірою.